燕赵教育网讯(老虎)高考的考生们是否已经准备好了,数学复习是否已经把难题熟练掌握了,如果觉得还有什么地方没有复习到,那就看看集合与常用逻辑用语的知识点,希望对你有所帮助。
第一编 集合与常用逻辑用语
1.3 简单的逻辑联结词与量词
一.要点集结
1.简单的逻辑联结词
命题中的 、 、 叫做逻辑联结词.
2.全称量词与存在量词
常见的全称量词有:"任意一个"、"一切"、"每一个"、"任给"、"所有的"等.
常见的存在量词有:"存在一个"、"至少有一个"、"有些"、"有一个"等.
全称量词用符号" "表示;存在量词用符号" "表示.
3.全称命题与存在性命题
含有 量词的命题叫全称命题.含有 量词的命题叫存在性命题.
4.含有一个量词的命题的否定
全称命题p: x M,p(x),其否定 p: ;
存在性命题p: x M,p(x),其否定 p: .
二.考点探究
考点1.含有逻辑联结词的命题真假判定
例1.命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0,对一切x∈R恒成立.q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数.若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.
考点2.全称命题与存在性命题的真假
例2.已知命题p:?x∈R,使2x2+(a-1)x+12≤0.若p是假命题,求实数a的取值范围.
考点3.含有一个量词的命题的否定
例3.写出下列命题的否定,并判断真假.
(1)p: x≥0,x2>0;
(2)q:自然数的平方是正数;
(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+2x2+3x+10=0.
三.疑点反思
1.对于逻辑用语"或"、"且"、"非"的理解,可以借助集合运算中的并集、交集、补集的概念.
2.要写一个命题的否定,首先分清其是全称命题还是存在性命题,再对照否定的结构去写,并注意与否命题的差别.
3.判断命题真假时要注意:全称命题为真需证明,为假举反例即可;存在性命题为真需举反例,为假要证明.
四.热点研习
一、填空题
1.命题"存在x0∈R,2x0≤0"的否定是________________________.
2."△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角"的否命题是____________________.
3.命题"?x∈R,x≤1或x2>4"的否定是__________________.
4.已知m、n是不同的直线,α、β是不重合的平面.命题p:若α∥β,m?α,n?β,则m∥n;命题q:若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β.下面的命题中,①p∨q;②p∧q;③p∨ p;④ p∧q.真命题的序号是________(写出所有真命题的序号).
5.已知命题p:?x∈R,使sin x=52;命题q:?x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:①命题"p∧q"是真命题;②命题"p∧ q"是假命题;③命题" p∨q"是真命题;④命题" p∨ q"是假命题.其中正确的是_______________________.
6.命题 的否定是"对所有正数 ",则命题 是 .
7.设函数f(x)的定义域为R,有下列三个命题:
①若存在常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M是函数f(x)的最大值;
②若存在x0∈R,使得对任意的x∈R,且x≠x0,有f(x)<f(x0),则f(x0)是函数f(x)的最大值;
③若存在x0∈R,使得对任意的x∈R,有f(x)≤f(x0),则f(x0)是函数f(x)的最大值.
这些命题中,真命题的个数是________.
8.已知命题p:?x∈[1,2],x2-a≥0;命题q:?x∈R,x2+2ax+2-a=0,若命题"p且q"是真命题,则实数a的取值范围为__________.
二、解答题
9.写出下列命题的否命题及命题的否定形式,并判断真假:
(1)若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根;
(2)若x、y都是奇数,则x+y是奇数;
(3)若abc=0,则a、b、c中至少有一个为零.
10.命题 方程 有两个不等的正实数根,命题 方程 无实数根.若" 或 "为真命题,求 的取值范围.
11.已知命题p:lg(x2-2x-2)≥0,命题q:|1-x2|<1.若p是真命题,q是假命题,求实数x的取值范围.
12.已知命题p:"?x∈[1,2],12x2-ln x-a≥0"与命题q:"?x∈R,x2+2ax-8-6a=0"都是真命题,求实数a的取值范围.
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